.md # Εξέλιξη πολιτικών σχηματισμών *Μοντελοποίηση της πορείας στο χρόνο μιας πολιτικής οντότητας με τη βοήθεια ολοκληρωτικής εξίσωσης* 🏡[Αρχική](https://kkoudas01.github.io/r4social/index.html) :::info Συγγραφή: *Κώστας Κούδας* Υλοποίηση μέσω γλώσσας Wolfram στο [WLJS Notebook](https://jerryi.github.io/wljs-docs/). ::: :::warning ⚠️ ΥΠΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ⚠️ :::

Εξέλιξη πολιτικών σχηματισμών

*Μοντελοποίηση της πορείας στο χρόνο μιας πολιτικής οντότητας με τη βοήθεια ολοκληρωτικής εξίσωσης*

🏡[Αρχική](https://kkoudas01.github.io/r4social/index.html)

:::info

Συγγραφή: *Κώστας Κούδας*

Υλοποίηση μέσω γλώσσας Wolfram στο [WLJS Notebook](https://jerryi.github.io/wljs-docs/).

:::

:::warning

⚠️ ΥΠΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ⚠️

:::

.md ## Θεμελίωση μοντέλου Έστω ότι έχουμε έναν πολιτικό σχηματισμό (εδώ, για λόγους ευκολίας, θα λέμε «*κόμμα*») που: - τη χρονική στιγμή $0$ έχει πληθυσμό $p_0$, ενώ $t$ χρονικές μονάδες μετά (εδώ, για λόγους ευκολίας, θα λέμε «*χρόνια*») έχει πληθυσμό $p(t)$, - τη χρονιά $t$ στο κόμμα ρέουν νέα μέλη με ρυθμό $r(t)$ άτομα ανά έτος, - τη χρονιά $t$ κάθε άτομο, μετά από $T(t)$ έτη πολιτικής ζύμωσης εισάγει στο κόμμα $n(t)$ νέα μέλη, δηλαδή τη χρονιά $t$ κάθε μέλος του κόμματος εισάγει στην οργάνωση $f(t)=\frac{n(t)}{T(t)}$ άτομα το χρόνο, - για χρονικό διάστημα $\Delta t=t_2-t_1$ στο κόμμα παραμένει ποσοστό $s\left(\Delta t\right)$ του πληθυσμού που είχε τη χρονική στιγμή $t_1$. Από παραπάνω έχουμε ότι για χρονικό διάστημα $\left[\tau,\tau+d\tau\right] $τα νέα μέλη που έρχονται στο κόμμα κατόπιν πολιτικής ζύμωσης με τα μέλη του είναι $f(\tau)p(\tau)d\tau$, άρα τα συνολικά μέλη θα είναι $\left(r(\tau)+f(\tau)p(\tau)\right)d\tau$. Από αυτά θα έχουν παραμείνουν στο κόμμα μέχρι τη χρονική στιγμή $t$ τα $s(t-\tau)\cdot\left(r(\tau)+f(\tau)\cdot p(\tau) \right)d \tau$ μέλη. Λαμβάνοντας υπ' όψιν όλες τις ενδιάμεσες χρονιές του διαστήματος $[0,t]$ έχουμε ότι στο έτος $t$ θα έχουν προκύψει/παραμείνει: $$ \sum_{\tau}s(t-\tau)\left(r(\tau)+f(\tau)\cdot p(\tau) \right)d \tau\text{ νέα μέλη }=\int_{0}^{t}s(t-\tau)\left(r(\tau)+f(\tau) p(\tau) \right)d \tau\text{ νέα μέλη}. $$ Συνεπώς, ο συνολικός πληθυσμός των ζώων το έτος $t$ θα είναι: $$ s(t)p_0+\int_{0}^{t}s(t-\tau)\left(r(\tau)+f(\tau) p(\tau) \right)d \tau. $$ Καταλήγουμε στην κάτωθι ολοκληρωτική εξίσωση Volterra δευτέρου είδους τύπου συνελίξεως: $$ p(t)=s(t)p_0+\int_{0}^{t}s(t-\tau)\left(r(\tau)+f(\tau) p(\tau) \right)d \tau, $$

Θεμελίωση μοντέλου

Έστω ότι έχουμε έναν πολιτικό σχηματισμό (εδώ, για λόγους ευκολίας, θα λέμε «*κόμμα*») που:

- τη χρονική στιγμή $0$ έχει πληθυσμό $p_0$, ενώ $t$ χρονικές μονάδες μετά (εδώ, για λόγους ευκολίας, θα λέμε «*χρόνια*») έχει πληθυσμό $p(t)$,

- τη χρονιά $t$ στο κόμμα ρέουν νέα μέλη με ρυθμό $r(t)$ άτομα ανά έτος,

- τη χρονιά $t$ κάθε άτομο, μετά από $T(t)$ έτη πολιτικής ζύμωσης εισάγει στο κόμμα $n(t)$ νέα μέλη, δηλαδή τη χρονιά $t$ κάθε μέλος του κόμματος εισάγει στην οργάνωση $f(t)=\frac{n(t)}{T(t)}$ άτομα το χρόνο,

- για χρονικό διάστημα $\Delta t=t_2-t_1$ στο κόμμα παραμένει ποσοστό $s\left(\Delta t\right)$ του πληθυσμού που είχε τη χρονική στιγμή $t_1$.

Από παραπάνω έχουμε ότι για χρονικό διάστημα $\left[\tau,\tau+d\tau\right] $τα νέα μέλη που έρχονται στο κόμμα κατόπιν πολιτικής ζύμωσης με τα μέλη του είναι $f(\tau)p(\tau)d\tau$, άρα τα συνολικά μέλη θα είναι $\left(r(\tau)+f(\tau)p(\tau)\right)d\tau$. Από αυτά θα έχουν παραμείνουν στο κόμμα μέχρι τη χρονική στιγμή $t$ τα $s(t-\tau)\cdot\left(r(\tau)+f(\tau)\cdot p(\tau) \right)d \tau$ μέλη. Λαμβάνοντας υπ' όψιν όλες τις ενδιάμεσες χρονιές του διαστήματος $[0,t]$ έχουμε ότι στο έτος $t$ θα έχουν προκύψει/παραμείνει:

$$

\sum_{\tau}s(t-\tau)\left(r(\tau)+f(\tau)\cdot p(\tau) \right)d \tau\text{ νέα μέλη }=\int_{0}^{t}s(t-\tau)\left(r(\tau)+f(\tau) p(\tau) \right)d \tau\text{ νέα μέλη}.

$$

Συνεπώς, ο συνολικός πληθυσμός των ζώων το έτος $t$ θα είναι:

$$

s(t)p_0+\int_{0}^{t}s(t-\tau)\left(r(\tau)+f(\tau) p(\tau) \right)d \tau.

$$

Καταλήγουμε στην κάτωθι ολοκληρωτική εξίσωση Volterra δευτέρου είδους τύπου συνελίξεως:

$$

p(t)=s(t)p_0+\int_{0}^{t}s(t-\tau)\left(r(\tau)+f(\tau) p(\tau) \right)d \tau,

$$