.md # Εξέλιξη πολιτικών σχηματισμών
*Μοντελοποίηση της πορείας στο χρόνο μιας πολιτικής οντότητας με τη βοήθεια ολοκληρωτικής εξίσωσης*
🏡[Αρχική](https://kkoudas01.github.io/r4social/index.html)
:::info
Συγγραφή: *Κώστας Κούδας*
Υλοποίηση μέσω γλώσσας Wolfram στο [WLJS Notebook](https://jerryi.github.io/wljs-docs/).
:::
:::warning
⚠️ ΥΠΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ⚠️
:::
Εξέλιξη πολιτικών σχηματισμών
.md ## Θεμελίωση μοντέλου
Έστω ότι έχουμε έναν πολιτικό σχηματισμό (εδώ, για λόγους ευκολίας, θα λέμε «*κόμμα*») που:
- τη χρονική στιγμή $0$ έχει πληθυσμό $p_0$, ενώ $t$ χρονικές μονάδες μετά (εδώ, για λόγους ευκολίας, θα λέμε «*χρόνια*») έχει πληθυσμό $p(t)$,
- τη χρονιά $t$ στο κόμμα ρέουν νέα μέλη με ρυθμό $r(t)$ άτομα ανά έτος,
- τη χρονιά $t$ κάθε άτομο, μετά από $T(t)$ έτη πολιτικής ζύμωσης εισάγει στο κόμμα $n(t)$ νέα μέλη, δηλαδή τη χρονιά $t$ κάθε μέλος του κόμματος εισάγει στην οργάνωση $f(t)=\frac{n(t)}{T(t)}$ άτομα το χρόνο,
- για χρονικό διάστημα $\Delta t=t_2-t_1$ στο κόμμα παραμένει ποσοστό $s\left(\Delta t\right)$ του πληθυσμού που είχε τη χρονική στιγμή $t_1$.
Από παραπάνω έχουμε ότι για χρονικό διάστημα $\left[\tau,\tau+d\tau\right] $τα νέα μέλη που έρχονται στο κόμμα κατόπιν πολιτικής ζύμωσης με τα μέλη του είναι $f(\tau)p(\tau)d\tau$, άρα τα συνολικά μέλη θα είναι $\left(r(\tau)+f(\tau)p(\tau)\right)d\tau$. Από αυτά θα έχουν παραμείνουν στο κόμμα μέχρι τη χρονική στιγμή $t$ τα $s(t-\tau)\cdot\left(r(\tau)+f(\tau)\cdot p(\tau) \right)d \tau$ μέλη. Λαμβάνοντας υπ' όψιν όλες τις ενδιάμεσες χρονιές του διαστήματος $[0,t]$ έχουμε ότι στο έτος $t$ θα έχουν προκύψει/παραμείνει:
$$
\sum_{\tau}s(t-\tau)\left(r(\tau)+f(\tau)\cdot p(\tau) \right)d \tau\text{ νέα μέλη }=\int_{0}^{t}s(t-\tau)\left(r(\tau)+f(\tau) p(\tau) \right)d \tau\text{ νέα μέλη}.
$$
Συνεπώς, ο συνολικός πληθυσμός των ζώων το έτος $t$ θα είναι:
$$
s(t)p_0+\int_{0}^{t}s(t-\tau)\left(r(\tau)+f(\tau) p(\tau) \right)d \tau.
$$
Καταλήγουμε στην κάτωθι ολοκληρωτική εξίσωση Volterra δευτέρου είδους τύπου συνελίξεως:
$$
p(t)=s(t)p_0+\int_{0}^{t}s(t-\tau)\left(r(\tau)+f(\tau) p(\tau) \right)d \tau,
$$